Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Đáp án đúng là "8/3"

Phương pháp giải

Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1.

Xác định tọa độ điểm A, B, độ dài \({\rm{OA}},{\rm{OB}}\).

Tính diện tích tam giác vuông \(OAB\).

Lời giải

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x - 6;\,\,y\left( 1 \right) = {1^3} + {3.1^2} - 6.1 + 1 =  - 1\); \(y'\left( 1 \right) = {3.1^2} + 6.1 - 6 = 3\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 là: \(y = 3x - 4\)

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 3x - 4\) với hai trục tọa độ là:

Với \(x = 0\) thì \(y =  - 4\) nên \(A\left( {0; - 4} \right)\).

Với \(y = 0\) thì \(3x - 4 = 0\) suy ra \(x = \frac{4}{3}\) nên \(B\left( {\frac{4}{3};0} \right)\).

Tam giác OAB là tam giác vuông tại \(O\) có \(OA = \sqrt {{0^2} + {{( - 4)}^2}}  = 4;OB = \sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2} + {0^2}}  = \frac{4}{3}\).

Vậy diện tích tam giác \(OAB\) là: \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}.4.\frac{4}{3} = \frac{8}{3}\).