Trên mặt phẳng, cho tam giác \(ABC\) có \(A( - 2; - 2),B( - 2;2),C(6;2)\).

Gọi \(D,E\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,AC\). Khi đó \(D( - 2;0)\), \(E(2;0) \cdot DE = 4\)

Ta có \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} | + |\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC} | = 12 \Leftrightarrow |2\overrightarrow {MD} | + |2\overrightarrow {ME} | = 12\)

\( \Leftrightarrow 2MD + 2ME = 12 \Leftrightarrow MD + ME = 6.{\rm{ }}\)

Vậy tập hợp các điểm \(M\) là elip có hai tiêu điểm là \(D\) và \(E\), độ dài trục lớn là 6.

(Elip này có \(c = \frac{{DE}}{2} = 2;a = 3 \Rightarrow b = \sqrt {{3^2} - {2^2}}  = \sqrt 5 \) )

Vậy tập hợp tất cả các điểm \(M\) là elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\).