Trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 có một điểm P chuyển động (như hình bên). Khi gieo một con xúc xắc, nếu số chấm xuất hiện là 1 hoặc 2 thì điểm P chuyển động theo chiều kim đồng hồ một g

Đáp án: 80

Gọi A là biến cố cần tìm.

Gọi \(p\) là xác suất để điểm \(P\) di chuyển theo chiều kim đồng hồ trong một lần gieo: \(p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Khi đó, xác suất để điểm \(P\) di chuyển theo chiều ngược kim đồng hồ là: \(q = 1 - p = \frac{2}{3}\).

Giả sử trong \(8\) lần gieo, có \(x\) lần điểm \(P\) di chuyển theo chiều kim đồng hồ và \(y\) lần di chuyển theo chiều ngược kim đồng hồ (điều kiện \(x,y \in \mathbb{N},x + y = 8\)).

Mỗi lần di chuyển tương ứng với một cung có số đo \(60^\circ  = \frac{{360^\circ }}{6}\). Để điểm \(P\) trở về đúng vị trí ban đầu sau \(8\) lần di chuyển, tổng đại số các góc quay phải là bội số của \(360^\circ \).

Ta có phương trình: \((y - x) \cdot 60^\circ  = n \cdot 360^\circ  \Rightarrow y - x = 6n\) (với \(n \in \mathbb{Z}\)).

Kết hợp với \(x + y = 8\), ta có hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 8}\\{y - x = 6n}\end{array}} \right. \Rightarrow 2y = 8 + 6n \Rightarrow y = 4 + 3n\).

Vì \(0 \le y \le 8\), ta có các trường hợp sau:

  Với \(n =  - 1 \Rightarrow y = 1,x = 7\).

  Với \(n = 0 \Rightarrow y = 4,x = 4\).

  Với \(n = 1 \Rightarrow y = 7,x = 1\).

Xác suất để điểm \(P\) trở về vị trí ban đầu là tổng xác suất của 3 trường hợp trên là:

\(P\left( A \right) = C_8^7 \cdot {p^7} \cdot {q^1} + C_8^4 \cdot {p^4} \cdot {q^4} + C_8^1 \cdot {p^1} \cdot {q^7}\)

\( = 8 \cdot {(\frac{1}{3})^7} \cdot \frac{2}{3} + 70 \cdot {(\frac{1}{3})^4} \cdot {(\frac{2}{3})^4} + 8 \cdot \frac{1}{3} \cdot {(\frac{2}{3})^7} = \frac{{80}}{{243}} = \frac{{80}}{{{3^5}}} = \frac{k}{{{3^5}}} \Rightarrow k = 80\).