Trên đường tròn (O) bán kính R, lấy các điểm A, B, C, D sao cho sđ AB =60 độ, sđ BC =90 độ

a) ⦁ Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB.

Do A, B thuộc đường tròn (O) nên OA = OB = R.

Lại có sđAB⏜=60° nên AOB^=60° (góc ở tâm chắn cung AB của đường tròn (O)).

Do đó, tam giác OAB là tam giác đều với cạnh AB = OA = OB = R nên có tâm đường tròn ngoại tiếp là G và bán kính đường tròn ngoại tiếp là R33.

⦁Do sđBC⏜=90° nên BOC^=90° (góc ở tâm chắn cung BC của đường tròn (O)).

Do đó tam giác OBC vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = OB² + OC²

Suy ra BC=OB2+OC2=R2+R2=R2 nên tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp của ∆OBC lần lượt là trung điểm E của BC và R22.

⦁ Tương tự tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAD lần lượt là trung điểm F của AD và R22.

⦁ Gọi H là trung điểm của DC và giao điểm của tia OH và cung nhỏ CD là K.

Do sđCD⏜=120° nên DOC^=120° (góc nội tiếp chắn cung DC của đường tròn (O)).

Trong tam giác ODC cân tại O có OH là trung tuyến nên đồng thời là phân giác của DOC^.

Suy ra DOH^=COH^=12DOC^=12·120°=60°.

Lại có OD = OK = OC nên ∆DOK, ∆COK là tam giác đều.

Suy ra KD = KO = KC = R.

Vậy tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ODC lần lượt là K và R.

b) Xét ∆OHC vuông tại H có HC=OC·sin COH^=R·sin 60°=R32.

Suy ra DC=2HC=2·R32=R3.

Xét đường tròn (O) có CAB^=12sđCB⏜=12·90°=45° (góc nội tiếp chắn cung BC).

Ta có sđAB⏜+sđBC⏜+sđCD⏜+sđDA⏜=360°

Suy ra sđDA⏜=360°-sđAB⏜-sđBC⏜-sđCD⏜=360°-60°-90°-120°=90°

Khi đó, DBA^=12sđDA⏜=12·90°=45° (góc nội tiếp chắn cung DA).

Do đó CAB^=DBA^=45°.

Xét ∆ABI có: IAB^+IBA^+AIB^=180°.

Suy ra AIB^=180°-IAB^-IBA^=180°-45°-45°=90°.

Hay AC vuông góc với BD.

Do đó ∆IAB vuông tại I, ∆IAD vuông tại I, ∆IBC vuông tại I, ∆IDC vuông tại I.

Mặt khác, AB = R, BC=AD=R2 (chứng minh ở câu a) và DC=R3 do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác IAB, IBC, IAD, IDC lần lượt là: R2, R22, R22,R32.