Trên đường thẳng xy , lấy lần lượt ba điểm A , B , C sao cho AB > BC . Vẽ đường tròn ( O ) đường kính AB và đường tròn ( O ′ ) đường kính .

20/21

(1,5 điểm) Trên đường thẳng $xy$, lấy lần lượt ba điểm $A,B,C$ sao cho $AB > BC$. Vẽ đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ và đường tròn $\left( {O'} \right)$ đường kính .

a) Gọi $H$ là trung điểm của $AC$. Vẽ dây $DE$ của đường tròn $\left( O \right)$ vuông góc với $AC$ tại $H$. Chứng minh tứ giác $ADCE$ là hình thoi.

b)$DC$ cắt đường tròn $\left( {O'} \right)$ tại $F$. Chứng minh rằng ba điểm $F,B,E$ thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng $HF$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O'} \right)$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải

$Trên đường thẳng $xy$, lấy lần lượt ba điểm $A,B,C$ (ảnh 1)$

a) Ta có $OO' = OB + BO'\,\,\,\,\left( {d = R + R'} \right)$

Do đó đường tròn $\left( O \right)$ và đường tròn $\left( {O'} \right)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $B.$

Xét $\Delta ODE$ cân tại $O$ (do $OD = OE)$ nên đường cao $OH$ đồng thời là đường trung tuyến của tam giác. Do đó $H$ là trung điểm của $DE$.

Mà \[H\] lại là trung điểm của $AC$, do đó tứ giác $ADCE$ là hình bình hành.

Mặt khác, $AC \bot DE$ nên hình bình hành \[ADCE\] là hình thoi.

b) Xét đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ ta có $\widehat {AEB} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $BE \bot AE$ tại $E$.

Mà$AE\,{\rm{//}}\,CD$ (do \[ADCE\] là hình thoi) nên\[EB \bot CD\].

Xét đường tròn $\left( {O'} \right)$ đường kính $BC$ ta có $\widehat {BFC} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $BF \bot CD$ tại $F$.

Ta có $EB \bot CD$ và $FB \bot CD$ suy ra $EB$ và $FB$ trùng nhau.

Vậy ba điểm $F,B,E$ thẳng hàng.

c) Tam giác $FDE$ vuông tại $F$ có \[FH\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $DE$ nên $FH = \frac{1}{2}DE = HD = HE.$

Do đó $\Delta HFD$ cân tại $H$, do đó $\widehat {HFD} = \widehat {HDC}$.

Mặt khác, \[O'FC\] cân tại $O'$ (do \[O'F = O'C\]) nên $\widehat {O'FC} = \widehat {HCD}$

Mà $\widehat {HDC} + \widehat {HCD} = 90^\circ $ (tam giác \[HCD\] vuông tại \[H\])

Nên $\widehat {HFD} + \widehat {O'FC} = 90^\circ $.

Do đó $\widehat {HFO'} = 180^\circ - \left( {\widehat {HFD} + \widehat {O'FC}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ $.

Ta có $HF \bot O'F$ tại $F$ và $F$ thuộc đường tròn $\left( {O'} \right)$ nên \[HF\] là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O'} \right)$.

Vậy \[HF\] là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O'} \right)$.