Trên đồng hồ, tại thời điểm buổi sáng đang xét, kim giờ chỉ số 3, kim phút chỉ số 12. Đến khi kim phút và kim giờ gặp nhau lần cuối cùng trước 9 giờ thì kim phút quay được một góc lượng giác

Xét lần đầu tiên kim giờ và kim phút gặp nhau, khi đó gọi \(\alpha \) là góc lượng giác mà kim giờ đi được, khi đó kim phút quay được một góc bằng \( - \frac{\pi }{2} + \alpha \). Vì kim phút quay nhanh gấp \(12\) lần kim giờ nên ta có: \( - \frac{\pi }{2} + \alpha = 12\alpha \Leftrightarrow \alpha = - \frac{\pi }{{22}}\). Xét lần thứ hai kim giờ và kim phút gặp nhau, gọi \(\beta \) là góc lượng giác mà kim giờ đi được, khi đó kim phút quay được một góc bằng \( - 2\pi + \beta \)
Vì kim phút quay nhanh gấp \(12\) lần kim giờ nên ta có \( - 2\pi + \beta = 12\beta \Leftrightarrow \beta = - \frac{{2\pi }}{{11}}\).
Kể tại thời điểm đang xét đến các lần gặp nhau thì kim giờ tạo thành các góc lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = - \frac{\pi }{{22}}\) và công sai \(d = - \frac{{2\pi }}{{11}}\).
Các góc của kim phút cũng lập thành cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_1} = - \frac{\pi }{2} + \left( { - \frac{\pi }{{22}}} \right) = - \frac{{6\pi }}{{11}}\) và công sai \(d' = - 2\pi + \left( { - \frac{{2\pi }}{{11}}} \right) = - \frac{{24\pi }}{{11}}\). Theo giả thiết, lần gặp nhau của hai kim lần cuối cùng trước \(9\)h nên ta có \({u_n} > - \pi \) \( \Leftrightarrow - \frac{\pi }{{22}} + \left( {n - 1} \right)\left( { - \frac{{2\pi }}{{11}}} \right) > - \pi \Leftrightarrow 4\left( {n - 1} \right) < 21 \Leftrightarrow n < \frac{{25}}{4}\)
Khi đó lần gặp nhau cuối cùng trước 9h là lần thứ 6, lúc đó kim phút quay được một góc lượng giác bằng \({v_6} = {v_1} + \left( {6 - 1} \right).d' = - \frac{{6\pi }}{{11}} + 5.\left( { - \frac{{24\pi }}{{11}}} \right) = - \frac{{126\pi }}{{11}} \approx - 36\) nên quay được góc lượng giác bằng \(36\) radian.