Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q

Cách giải 1: (Hình 1)

Trên đoạn AP lấy hai điểm N và M sao cho BN = BP và PM = PC

Khi đó ta có các tam giác BNP và tam giác MPC là các tam giác cânVì APB^=ACB^=60∘ và MPC^=ABC^=60∘ (Các góc nội tiếp cùng chắn một cung). Suy ra tam giác BNP và tam giác MPC là các tam giác đềuXét hai tam giác △CQP và △BQN có: BQN^=CQP^ (Hai góc đổi đỉnh)                                                               BNQ^=CPQ^=60∘Nên △CQP~△BQN⇒CPPQ=BNNQ=BNBN-PQ⇒1CP=BN-PQPQ.BN1PQ=1PB-1PC (Đpcm)

Cách giải 2: (Hình 2)

Trên tia BP lấy một điểm D sao cho PD = PC
Ta có: CPD^=60∘ ( Vì CPB^=120∘ góc nội tiếp chắn cung 120∘)
nên tam giác CPD là tam giác đều ⇒APB^=CDP^=60∘
Vì vậy AP // CD ⇒△BPQ ~△BDC.

⇒BPPQ=BDCD=BP+PCCP⇒1PQ=BP+PCCP.BP⇒1PQ=1BP+1CP
=> 1PQ=1PB-1PC (Đpcm)