Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm M, N không trùng với B và C sao cho BM = MN =NC.Chứng minh rằng hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm.

Lời giải

Giả sử G, G' lần lượt là trọng tâm của ABC, AMN.

Sử dụng kết quả của Ví dụ 3, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một) ta có:

\(\overrightarrow {{\rm{AA}}} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = 3\overrightarrow {GG'} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = 3\overrightarrow {GG'} \)

Mặt khác: M, N lần lượt lấy theo thứ tự trên cạnh BC sao cho BM = MN = NC nên ta có: \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BM} = - \overrightarrow {CN} \Rightarrow \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = 3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 \)

Suy ra điểm G và G' trùng nhau.

Do đó hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm.