Trên bảng viết các số 1/2015 2/2015

 Áp dụng nguyên lý bất biến trong giải toán:

Cho a, b, c là những số thực ta xét tổng S = a + b + c . Nếu ta đổi chỗ a cho b, b cho c, c cho a, thì tổng S luôn luôn chỉ là một (không đổi). Tổng này không thay đổi đối với thứ tự phép cộng. Dù a, b, c có thay đổi thứ tự như thế nào chăng nữa S vẫn không thay đổi, nghĩa là S bất biến đối với việc thay đổi các biến khác.

Thông thường ta sẽ dựa vào kinh nghiệm dự đoán số bất biến trong dãy.

Nhận xét: c = a + b − 5ab là một tổng mà vai trò của a và b như nhau.

Cứ xóa 2 số a, b bất kì và xóa 2014 lần theo bất kì cách nào thì luôn ra một số duy nhất, nên ta có thể dự đoán: khi xóa đến một số nào đó thì số c là không đổi.

Giả sử xóa đến số a0 thì được số co = ao + b1 − 5a0b1

Xóa tiếp số co và b2 thì vẫn được co, tức là: co = co + b2 − 5cob2 ⇔ co =  

Thử lại ta thấy:

Trong dãy số trên có số .

Nếu xóa hai số a và b bất kì và thay bằng số mới là c = a +  b − 5ab, như vậy sau mỗi lần xóa dãy trên giảm đi một số. Như vậy sau 2014 lần xóa trên bảng còn lại đúng 1 số.

Ta cứ xóa đến một lúc nào đó ta sẽ xóa  và được thay bằng .

Như vậy cứ xóa số  và một số b bất kì thì lại viết được c = .

Vậy số cuối cùng còn lại là .

Do đó ta điền đáp án như sau

Trên bảng viết các số . Mỗi lần biến đổi, xóa đi hai số bất kì và thay bằng số . Sau 2014 lần thực hiện phép biến đổi trên bảng còn lại một phân số . (tối giản)

Tổng m + n =  .