(Trả lời ngắn)Cho hình thang cong ( H) giới hạn bởi các đường y = e^x, y = 0, x = 0, x = ln 4
5/22
Cho hình thang cong \[\left( H \right)\] giới hạn bởi các đường \[y = {{\rm{e}}^x}\], \[y = 0\], \[x = 0\], \[x = \ln 4\]. Đường thẳng \[x = k\] \[\left( {0 < k < \ln 4} \right)\] chia \[\left( H \right)\] thành hai phần có diện tích là \[{S_1}\] và \[{S_2}\] như hình vẽ bên. Tìm \[k\] để \[{S_1} = 2{S_2}\].
Trả lời: ………………..
\[k = \ln 3\]
Diện tích hình thang cong \[\left( H \right)\] giới hạn bởi các đường \[y = {{\rm{e}}^x}\], \[y = 0\], \[x = 0\], \[x = \ln 4\] là
\[S = \int\limits_0^{\ln 4} {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_0^{\ln 4} = \]\[{{\rm{e}}^{\ln 4}} - {{\rm{e}}^0} = 4 - 1 = 3\](đvdt).
Ta có \[S = {S_1} + {S_2} = {S_1} + \frac{1}{2}{S_1} = \frac{3}{2}{S_1}\]. Suy ra \[{S_1} = \frac{{2S}}{3} = \frac{{2.3}}{3} = 2\] (đvdt).
Vì \[{S_1}\] là phần diện tích được giới hạn bởi các đường \[y = {{\rm{e}}^x}\], \[y = 0\], \[x = 0\], \[x = k\] nên
\[2 = {S_1} = \int\limits_0^k {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_0^k = \]\[{{\rm{e}}^k} - {{\rm{e}}^0} = {{\rm{e}}^k} - 1\].
Do đó \[{{\rm{e}}^k} = 3 \Leftrightarrow k = \ln 3\].