(Trả lời ngắn) Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 48 và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chất liệu làm đáy và 4 mặt bên của hộp

Gọi chiều dài, chiều rộng của hộp là \(2x\) và \(x\)\((x > 0)\).

Khi đó, ta có thể tích của cái hộp là: \[V = 2{x^2}.h \Rightarrow 2{x^2}.h = 48 \Leftrightarrow {x^2}.h = 24\]

Do giá thành làm đáy và mặt bên hộp là \(3\), giá thành làm nắp hộp là \(1\)nên giá thành làm hộp là

\[L = 3\left( {2{x^2} + 2xh + 4xh} \right) + 2{x^2}\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ta được:

\[L = 8{x^2} + 9xh + 9xh \ge \]\[3\sqrt[3]{{8{x^2}.9xh.9xh}}\]\[ = 3\sqrt[3]{{648{{\left( {{x^2}h} \right)}^2}}} = 216\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}8{x^2} = 9xh\\{x^2}h = 24\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{9h}}{8}\\\frac{{{9^2}}}{{{8^2}}}.{h^3} = 24\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\h = \frac{8}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(m = 8\),\(n = 3\) và \(m + n = 11\).