1. Sai. Bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau

$Dựa vào bảng xét dấu của \(k'\left( x \right)\), ta có h (ảnh 2)$

Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

2. Sai. Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 1 điểm cực trị.

3. Đúng. Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{f'\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}} = 0\) nên hàm số \(y = h\left( x \right)\) có 1 tiệm cận ngang.

Lại có \(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm. Do đó hàm số \(y = h\left( x \right)\) có 2 tiệm cận đứng.

Vậy hàm số \(y = h\left( x \right)\) có tất cả 3 đường tiệm cận.

4. Sai.

$Dựa vào bảng xét dấu của \(k'\left( x \right)\), ta có h (ảnh 3)$

Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1\);

Có \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1\) (1).

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = x - 1\).

Dựa vào đồ thị hàm số trên ta có \(x = - 3;x = - 1;x = 1\) là 3 nghiệm của phương trình (1).

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\) như sau

$Dựa vào bảng xét dấu của \(k'\left( x \right)\), ta có h (ảnh 4)$

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\), ta thấy để đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{2}{x^2} + x + 2025\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi \(\max \left\{ {g\left( { - 3} \right);g\left( 1 \right)} \right\} < m < g\left( { - 1} \right)\).

5. Đúng. Ta có \(k'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x} \right)\).

Có \(k'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2 = 0\\f'\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x = - 2\\{x^2} - 2x = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1 + \sqrt 2 \\x = 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\).

Bảng xét dấu của \(k'\left( x \right)\)

$Dựa vào bảng xét dấu của \(k'\left( x \right)\), ta có h (ảnh 5)$

Dựa vào bảng xét dấu của \(k'\left( x \right)\), ta có hàm số \(y = k\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị. Chọn ý 3, 5.

Tổng thể tích nước ban đầu trong bể là bao nhiêu?