Tổng tất cả giá trị của n ≤ 10 thoả mãn C n − 1 n + 2 + C n n + 2 > 5/2 A 2 n là:

73/90

Tổng tất cả giá trị của \(n \le 10\) thoả mãn \(C_{n + 2}^{n - 1} + C_{n + 2}^n > \frac{5}{2}A_n^2\) là:

55 .

44 .

54 .

45 .

Giải thích

Phương pháp giải

Áp dụng công thức chỉnh hợp, tổ hợp, giai thừa đưa bài toán về giải bất phương trình.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}\).
Ta có: \(C_{n + 2}^{n - 1} + C_{n + 2}^n > \frac{5}{2}A_n^2\)
\( \Leftrightarrow C_{n + 3}^n > \frac{5}{2}A_n^2 \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 3} \right)!}}{{n!3!}} > \frac{5}{2} \cdot \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{6} > \frac{5}{2} \cdot \left( {n - 1} \right)n\)\( \Leftrightarrow {n^3} + 6{n^2} + 11n + 6 > 15{n^2} - 15n \Leftrightarrow {n^3} - 9{n^2} + 26n + 6 > 0\)\( \Leftrightarrow n\left( {{n^2} - 9n + 26} \right) + 6 > 0 \Leftrightarrow n\left[ {{{\left( {n - \frac{9}{2}} \right)}^2} + \frac{{23}}{4}} \right] + 6 > 0\left( {\rm{*}} \right)\).
Dễ thấy (*) luôn đúng với mọi \(n \ge 2\).
Vậy tổng tất cả các nghiệm của bất phương trình là 54 .

Đáp án cần chọn là: C