Tổng tất cả các nghiệm của phương trình:

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Hàm đặc trưng

Lời giải

Điều kiện xác định \(x > \frac{5}{6}\).

\({7^{x - 1}} - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}{(6x - 5)^3} = 1\)

\( \Leftrightarrow {7^{x - 1}} - 16{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\left( {6x - 5} \right) = 1\)

Đặt \(u = x - 1,v = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\left( {6x - 5} \right) \Rightarrow 6x - 5 = {7^v}\)

\( \Rightarrow 6\left( {x - 1} \right) + 1 = {7^v} \Rightarrow 1 = {7^v} - 6u\)

Ta có phương trình: \({7^u} - 6v = {7^v} - 6u \Leftrightarrow {7^u} + {6^u} = {7^v} + 6v\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {7^t} + 6t\)

\(f'\left( t \right) = {7^t}.{\rm{ln}}7 + 6 > 0,\forall t \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

\( \Rightarrow f\left( u \right) = f\left( v \right) \Rightarrow 1 = {7^u} - 6u\)

Xét hàm số: \(g\left( t \right) = {7^t} - 6t\) có:

\(g'\left( t \right) = 7{\rm{ln}}7 - 6 = 0 \Rightarrow {t_0} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\frac{6}{{{\rm{ln}}7}}\)

\(g''\left( t \right) = {7^t}{({\rm{ln}}7)^2} > 0\)

Do đó \({t_0}\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Mà \(g\left( 0 \right) = g\left( 1 \right) = 1\) nên phương trình \(1 = {7^u} - 6u\) có đúng 2 nghiệm \(u = 0,u = 1 \Rightarrow x = 1,x = 2\left( {{\rm{tm}}} \right)\)

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 3