Tổng tất cả các nghiệm của phương trình

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Giải phương trình logarit bằng phương pháp mũ hóa hai vế rồi đặt ẩn phụ

Lời giải

ĐКХĐ: \(7 - {3^x} > 0 \Leftrightarrow x < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}7\).

Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {7 - {3^x}} \right) = 2 - x \Leftrightarrow 7 - {3^x} = {3^{2 - x}} \Leftrightarrow 7 - {3^x} = \frac{9}{{{3^x}}}\) (1)

Đặt \(t = {3^x},t > 0\). Khi đó (1) trở thành:

\(7 - t = \frac{9}{t} \Rightarrow {t^2} - 7t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = {\frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}_{\left( n \right)}} \vee t = {\frac{{7 - \sqrt {13} }}{2}_{\left( n \right)}}\).

Với \(t = \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow {3^x} = \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}\left( n \right)\).

Với \(t = \frac{{7 - \sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow {3^x} = \frac{{7 - \sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{7 - \sqrt {13} }}{2}\left( n \right)\).

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{7 + \sqrt {13} }}{2} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{7 - \sqrt {13} }}{2} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {\frac{{7 + \sqrt {13} }}{2} \cdot \frac{{7 - \sqrt {13} }}{2}} \right) = 2\).