Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-6;6] để đường thẳng y = x-m cắt đồ thị hàm số

Đáp án đúng là "11"

Phương pháp giải

Bài toán tương giao đồ thị, số nghiệm bằng số giao điểm.

Lời giải

Ta có phương trình hoành độ giao điểm

\(x - m = \frac{{2x - 9}}{{x - 3}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne  - 3}\\{{x^2} + \left( {m + 5} \right)x + \left( {9 + 3m} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

Để đường thẳng \(y = x - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 3}}\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne  - 3}\\{{\rm{\Delta }} > 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 3}\\{{m^2} - 2m - 11 > 0}\\{m + 5 > 0}\\{3m + 9 > 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 3}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1 - 2\sqrt 3  \approx  - 2,5}\\{m > 1 + 2\sqrt 3  \approx 4,5}\end{array}} \right.}\\{m >  - 5}\\{m >  - 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy \(m \in \left\{ {5;6} \right\}\)

Vậy tổng các giá trị của \(m\) là \(5 + 6 = 11\).