Tổng số tiệm cận (đứng, ngang, xiên) của đồ thị hàm số

Phương pháp giải:

Xét giới hạn hàm số đã cho tại các cận.

Giải chi tiết:

Tập xác định:

                                           \[D = ( - \infty ;0) \cup (2; + \infty ).\]

Tiệm cận ngang:

       \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + \ln ({x^2} - 2x)}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \frac{{\ln ({x^2} - 2x)}}{{{x^2}}}} \right) = 1.\]

               \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + \ln ({x^2} - 2x)}}{x} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln ({x^2} - 2x)}}{x} = 0.\]

Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên:

                                                                  \[y = x.\]

Tương tự:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{y}{x} = 1,\qquad \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (y - x) = 0,\]

nên cũng cho cùng tiệm cận xiên \(y = x\).

Tiệm cận đứng:

Do \(\ln ({x^2} - 2x) \to - \infty \) khi \(x \to {0^ - }\) hoặc \(x \to {2^ + }\),

suy ra đồ thị có hai tiệm cận đứng:

                                                       \[x = 0,\qquad x = 2.\]

Vậy tổng số tiệm cận của đồ thị hàm số là : 3