Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x^4 − 12x^2 − 1 trên đoạn [0; 9] bằng bao nhiêu?

Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;9} \right]\). Tính đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 24x = 4x\left( {{x^2} - 6} \right)\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \sqrt 6 \) hoặc \(x = - \sqrt 6 \).

Trong đoạn \(\left[ {0;9} \right]\), ta chỉ nhận hai giá trị nghiệm là \(x = 0\) và \(x = \sqrt 6 \).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và đầu mút:

\(f\left( 0 \right) = {0^4} - 12 \cdot {0^2} - 1 = - 1\);

\(f\left( {\sqrt 6 } \right) = {\left( {\sqrt 6 } \right)^4} - 12 \cdot {\left( {\sqrt 6 } \right)^2} - 1 = 36 - 72 - 1 = - 37\);

\(f\left( 9 \right) = {9^4} - 12 \cdot {9^2} - 1 = 6561 - 972 - 1 = 5588\).

Từ các giá trị trên, ta xác định được: \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;9} \right]} f\left( x \right) = - 37\] tại \(x = \sqrt 6 \); \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;9} \right]} f\left( x \right) = 5588\) tại \[x = 9\].

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng: \(S = \max f\left( x \right) + \min f\left( x \right) = 5588 + \left( { - 37} \right) = 5551\).

Đáp số:\(5551\).