Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = \(\frac{{2\cos x}}{{\cos x + 3}}\) bằng:

Đáp án đúng là: D

Ta có: y = \(\frac{{2\cos x}}{{\cos x + 3}}\) ⇔ y(cosx + 3) = 2cosx ⇔ ycosx – 2cosx = -3y

⇔ (y – 2)cosx = -3y ⇔ (2 – y)cox = 3y (*)

Trường hợp 1: y = 2. Khi đó (*) trở thành: 0 = 6 (vô lý).

Trường hợp 2: y 2. Khi đó (*) trở thành: \(\cos x = \frac{{3y}}{{2 - y}}\)

Để hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì: -1 ≤ cosx ≤ 1 ⇔ \( - 1 \le \frac{{3y}}{{2 - y}} \le 1\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3y}}{{2 - y}} \ge - 1\\\frac{{3y}}{{2 - y}} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3y}}{{2 - y}} + 1 \ge 0\\\frac{{3y}}{{2 - y}} - 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2 + 2y}}{{2 - y}} \ge 0\\\frac{{4y - 2}}{{2 - y}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{y + 1}}{{2 - y}} \ge 0\\\frac{{2y - 1}}{{2 - y}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le y < 2\\y \le \frac{1}{2};y > 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow - 1 \le y \le \frac{1}{2}\).

Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là: -1 và \(\frac{1}{2}\)

=> Tổng: - 1 + \(\frac{1}{2}\) = \( - \frac{1}{2}\).