Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là:

Ta có \(y = \frac{{2{\rm{cos}}x}}{{{\rm{cos}}x + 3}} \Leftrightarrow y\left( {\cos x + 3} \right) = 2\cos x \Leftrightarrow \left( {2 - y} \right){\rm{cos}}x = 3y\,\,\,\left( {\rm{*}} \right)\).

Trường hợp 1: \(y = 2\). Khi đó \(\left( * \right)\) trở thành: \(0 = 6\) (vô lí).

Trường hợp 2: \(y \ne 2\). Khi đó \(\left( * \right)\) trở thành: \({\rm{cos}}x = \frac{{3y}}{{2 - y}}\).

Để hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì: \( - 1 \le \frac{{3y}}{{2 - y}} \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le y \le \frac{1}{2}\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\frac{1}{2}\) khi \(x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - 1\) khi \(x = \pi + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Do đó tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng \( - \frac{1}{2}\). Chọn D.