Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giải chi tiết:

\(y = 2{(2\cos x - 3)^3} + 3{(2\cos x - 3)^2} - 24\cos x\)

\( = 2{(2\cos x - 3)^3} + 3{(2\cos x - 3)^2} - 12(2\cos x - 3) - 36.\)

Với \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{{2\pi }}{3}} \right] \Rightarrow \cos x \in \left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\)nên \(2\cos x - 3 \in [ - 4; - 1].\)

Đặt \(t = 2\cos x - 3\) thì \(y = 2{t^3} + 3{t^2} - 12t - 36\)với \(t \in [ - 4; - 1].\)

\(y' = 6{t^2} + 6t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = - 2}\end{array}} \right..\)

Vì \[y\left( { - 4} \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - 68;{\rm{ }}y\left( { - 2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - 16;{\rm{ }}y\left( { - 1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - 23.\]

Vậy GTNN của hàm số bằng \( - 68\) và GTLN bằng \( - 16.\)

Vậy tổng GTLN và GTNN là \( - 84.\)

Đáp án cần chọn là: A