Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

113/234

\[y = 2{(2\cos x - 3)^3} + 3{(2\cos x - 3)^2} - 24\cos x\]

trên đoạn \[\left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{{2\pi }}{3}} \right]\] là:

\( - 84\)

\( - 91\)

\( - 39\)

\( - 12\)

Giải thích

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

Đặt:

\[t = 2\cos x - 3.\]

Với \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{{2\pi }}{3}} \right]\) thì

\[\cos x \in \left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\; \Rightarrow \;t \in [ - 4; - 1].\]

Bài toán trở về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

\[f(t) = 2{t^3} + 3{t^2} - 12t - 36\]

trên đoạn \([ - 4; - 1]\).

Ta có:

\[f'(t) = 6{t^2} + 6t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1,}\\{t = - 2.}\end{array}} \right.\]

Xét trên đoạn \([ - 4; - 1]\), ta lập bảng biến thiên và suy ra:

\[{f_{\max }} = - 16,\qquad {f_{\min }} = - 68.\]

Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cần tìm là:

\[ - 16 + ( - 68) = - 84.\]