Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

32/235

Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{(2{\rm{cos}}x - 3)^3} + 3{(2{\rm{cos}}x - 3)^2} - 24{\rm{cos}}x\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{{2\pi }}{3}} \right]\) là:

-84.

-91.

-39.

-12.

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ.

Lời giải

Đặt \(2{\rm{cos}}x - 3 = t\). Với \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{{2\pi }}{3}} \right] \Rightarrow {\rm{cos}}x \in \left[ {\frac{{ - 1}}{2};1} \right] \Rightarrow 2{\rm{cos}}x - 3 \in \left[ { - 4; - 1} \right]\)

Bài toán trở về việc tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(f\left( t \right) = 2{t^3} + 3{t^2} - 12t - 36\) trên đoạn \(\left[ { - 4; - 1} \right]\).

Có \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 6{t^2} + 6t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = - 2}\end{array}} \right.\)

Khi đó, ta có bảng biến thiên của hàm số trên \(\left[ { - 4; - 1} \right]\) như sau:

Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên của hàm số, ta tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là -16 và -68. Vậy kết quả cần tìm là \( - 68 - 16 = - 84\).