Chọn B

ĐKXĐ: \({\rm{cos}}x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi \)

\(\frac{{{\rm{sin}}3x}}{{{\rm{cos}}x + 1}} = 0 \Rightarrow {\rm{sin}}3x = 0 \Leftrightarrow 3x = k\pi \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{3}\)

So sánh với điều kiện ta có: \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,x = k2\pi \).

Khi \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \), theo giả thiết \(x \in \left[ {2\pi ;4\pi } \right]\) suy ra \(2\pi \le \frac{\pi }{3} + k\pi \le 4\pi \Leftrightarrow 2 \le \frac{1}{3} + k \le 4 \Leftrightarrow \frac{5}{3} \le k \le \frac{{11}}{3}\) mà \(k \in Z\) nên \[k \in \{ 2;3\} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{7\pi }}{3};\frac{{10\pi }}{3}} \right\}\].

Khi \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \), theo giả thiết \(x \in \left[ {2\pi ;4\pi } \right]\) suy ra \(2\pi \le \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \le 4\pi \Leftrightarrow 2 \le \frac{2}{3} + k \le 4 \Leftrightarrow \frac{4}{3} \le k \le \frac{{10}}{3}\) mà \(k \in Z\) nên \[k \in \{ 2;3\} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{8\pi }}{3};\frac{{11\pi }}{3}} \right\}\].

Khi \(x = k2\pi \), theo giả thiết \(x \in \left[ {2\pi ;4\pi } \right]\) suy ra \(2\pi \le k2\pi \le 4\pi \Leftrightarrow 1 \le k \le 2\) mà \(k \in Z\) nên \[k \in \{ 1;2\} \Rightarrow x \in \left\{ {2\pi ;4\pi } \right\}\].

Vậy có 6 nghiệm thỏa mãn là: \[x \in \left\{ {\frac{{7\pi }}{3};\frac{{8\pi }}{3};\frac{{10\pi }}{3};\frac{{11\pi }}{3};2\pi ;4\pi } \right\}\].

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn