Tổng các số nguyên n để A = n^4 + n^3 + n^2 là một số chính phương.

Phương pháp giải:

Phân tích \(A\) thành nhân tử và lập luận tìm \(n\).

Giải chi tiết:

Ta có

            \[A = {n^4} + {n^3} + {n^2} = {n^2}({n^2} + n + 1).\]

Với \(n = 0\) thì \(A = 0\) (thỏa mãn).

Với \(n \ne 0\), \(A\) là số chính phương

khi và chỉ khi \({n^2} + n + 1\) là số chính phương.

Giả sử

                   \[{n^2} + n + 1 = {k^2}\quad (k \in \mathbb{N}).\]

    \[ \Leftrightarrow 4({n^2} + n + 1) = 4{k^2} \Leftrightarrow (2n + 1 - 2k)(2n + 1 + 2k) = - 3.\]

Do

    \[2n + 1 + 2k \ge 2n + 1 - 2k,\;\forall n \in \mathbb{Z},\;k \in \mathbb{N},\]

nên ta có các trường hợp:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2n + 1 - 2k = - 3}\\{2n + 1 + 2k = 1}\end{array}} \right.\quad {\rm{ho?c}}\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2n + 1 - 2k = - 1}\\{2n + 1 + 2k = 3}\end{array}} \right.\]

Từ đó suy ra

                                   \[n = - 1\quad {\rm{ho?c}}\quad n = 0.\]

Tổng các giá trị nguyên \(n\) thỏa mãn là: \[ - 1.\]

Đáp án cần điền là: \( - 1\).