Tổng các nghiệm thuộc khoảng (0;3pi) của phương trình sin2x-2cos2x+2sinx=2cosx+4

34/50

Tổng các nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;3\pi } \right)$ của phương trình $\sin 2x - 2\cos 2x + 2\sin x = 2\cos x + 4$ là

3π.

π.

2π

π2.

Giải thích

Chọn A.

Phương trình đã cho tương đương với

$2\sin x.\cos x - 2{{\rm cosx}\nolimits} - 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x - 4 = 0$

$\Leftrightarrow 2{{\rm cosx}\nolimits} \left( {{{\rm sinx}\nolimits} - 1} \right) + 4{\sin ^2}x + 2\sin x - 6 = 0.$

$\Leftrightarrow 2\cos x\left( {{{\rm sinx}\nolimits} - 1} \right) + \left( {{{\rm sinx}\nolimits} - 1} \right)\left( {4\sin x + 6} \right) = 0.$

$\Leftrightarrow \left( {{{\rm sinx}\nolimits} - 1} \right)\left( {2{{\rm cosx}\nolimits} + 4sinx + 6} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{\rm sinx}\nolimits} = 1\\2cosx + 4\sin x = - 6\end{array} \right.$

Phương trình $2\cos x + 4\sin x = - 6$ vô nghiệm vì

${a^2} + {b^2} = 20 < 36 = {c^2}.$

Lại có $x \in \left( {0;3\pi } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{2} + k2\pi < 3\pi \\k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Leftrightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} + 2\pi } \right\}$

Tổng các nghiệm là: $\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2} + 2\pi = 3\pi .$