Tổng các nghiệm phương trình cos^3 x − sin^3 x = sin x − cos x trong khoảng ( − 10 ; 200 ) là

Giải chi tiết:

\(PT \Leftrightarrow (\cos x - \sin x)({\sin ^2}x + \cos x\sin x + {\cos ^2}x) = \sin x - \cos x\)

\( \Leftrightarrow (\cos x - \sin x)(1 + \cos x\sin x) = \sin x - \cos x\)

\( \Leftrightarrow (\cos x - \sin x)(2 + \cos x\sin x) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \sin x\\2 + \cos x\sin x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\4 + \sin 2x = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)

Xét \( - 10 < \frac{\pi }{4} + k\pi < 200 \Leftrightarrow - \frac{{10}}{\pi } - \frac{1}{4} < k < \frac{{200}}{\pi } - \frac{1}{4}\)

\( \Rightarrow k = - 3, - 2, - 1,0,1,2,3, \ldots ,62,63\)có \(67\) giá trị \(k\)

Khi đó tổng các nghiệm sẽ bằng

\(\frac{\pi }{4} \cdot 67 + ( - 3 - 2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + \ldots + 63)\pi = \frac{{67\pi }}{4} + (4 + 5 + 6 + \ldots + 63)\pi \)

Áp dụng công thức tính tổng liên tiếp dạng

\((n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + \ldots + m = \frac{{m(m + 1)}}{2} - \frac{{n(n + 1)}}{2}\)  ta được

\(4 + 5 + 6 + \ldots + 63 = \frac{{63(63 + 1)}}{2} - \frac{{3 \cdot 4}}{2} = 2010\)

Vậy tổng nghiệm cần tìm là \(\frac{{67\pi }}{4} + 2010\pi = \frac{{8107\pi }}{4}\)

Cách tính tổng trực tiếp sử dụng Casio fx 570ES-Plush (siêu nhanh)

Đáp án cần chọn là: D