Tổng các giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số y = (m.e^(-x) + 9)/(e^(-x) + m) đồng biến trên khoảng (ln2; +∞) là ..................

Đáp án đúng là: 0

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(u = {e^{ - x}}\), tìm khoảng giá trị của \(u\) và xét tính đơn điệu của hàm hợp.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = {e^{ - x}}\). Vì \(x \in \left( {\ln 2; + \infty } \right)\) nên \(u \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) và \(u'\left( x \right) = - {e^{ - x}} < 0\) (hàm nghịch biến).

Do đó, để hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\ln 2; + \infty } \right)\) thì hàm số \(g\left( u \right) = \frac{{mu + 9}}{{u + m}}\) phải nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

Ta có \(g'\left( u \right) = \frac{{{m^2} - 9}}{{{{\left( {u + m} \right)}^2}}}\).

Hàm số \(g\left( u \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) khi và chỉ khi:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - 9 < 0}\\{ - m \notin \left( {0;\frac{1}{2}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 < m < 3}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m \le 0}\\{ - m \ge \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 < m < 3}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 0}\\{m \le - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le m < 3}\\{ - 3 < m \le - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Vì \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).

Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn là: \(\left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) + 0 + 1 + 2 = 0\).