Tổng các giá trị nguyên của m thỏa mãn log_5(x^2 + 1) + 1 ≥ log_5(mx^2 + 4x + m), ∀x ∈ R bằng.

Giải chi tiết:

Với \(m = 0\) thì bất phương trình không xác định với \(\forall x \in \mathbb{R}.\)

ĐKXĐ: \(m{x^2} + 4x + m > 0,\;\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{\Delta ' < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{4 - {m^2} < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m > 2\)

Phương trình đã cho tương đương với

\({\log _5}(5{x^2} + 5) \ge {\log _5}(m{x^2} + 4x + m)\)

\( \Leftrightarrow 5{x^2} + 5 \ge m{x^2} + 4x + m\)

\( \Leftrightarrow (m - 5){x^2} + 4x + m - 5 \le 0,\;\forall x \in \mathbb{R}\;(*)\)

Với \(m = 5 \Rightarrow 4x \le 0\) (loại)

Để \((*)\) thỏa mãn thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 5 < 0}\\{\Delta ' \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 5}\\{4 - {{(m - 5)}^2} \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 5}\\{ - {m^2} + 10m - 21 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 5}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 7}\\{m \le 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le 3\)

Kết hợp với ĐKXĐ ta được \(2 < m \le 3\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 3\)

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D