Tổng các giá trị nguyên của m để phương trình sin x.cos x - m(sin x + cos x) + 1 = 0 có nghiệm là

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sin x + \cos x\) để đưa phương trình về dạng bậc hai theo \(t\), sau đó xét điều kiện tồn tại nghiệm.

Giải chi tiết:

Đặt:

                            \[t = \sin x + \cos x\quad \Rightarrow \quad - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 .\]

Ta có:

                                                        \[\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}.\]

Phương trình đã cho trở thành:

       \[\frac{{{t^2} - 1}}{2} - mt + 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 2mt + 1 = 0.{\rm{ }}*\]

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình \((*)\) phải có nghiệm \(t\) thuộc đoạn \([ - \sqrt 2 ,\sqrt 2 ]\).

Xét các trường hợp

1. Phương trình \((*)\) có nghiệm kép:

\[\Delta ' = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1.\]

Với \(m = \pm 1\) thì nghiệm \(t = m\) thỏa mãn \(|t| \le \sqrt 2 \), nên phương trình có nghiệm.

2. Phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt:

                               \[\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow |m| > 1.\]

Khi đó cần:

   \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f( - \sqrt 2 ) \le 0,}\\{f(\sqrt 2 ) \le 0,}\end{array}} \right.\]

trong đó \(f(t) = {t^2} - 2mt + 1\).

Tính được:

                                   \[f( - \sqrt 2 ) = 3 + 2m\sqrt 2 ,\qquad f(\sqrt 2 ) = 3 - 2m\sqrt 2 .\]

Điều kiện tương đương:

                    \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 + 2m\sqrt 2 \le 0,}\\{3 - 2m\sqrt 2 \le 0,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow - \frac{3}{{2\sqrt 2 }} \le m \le \frac{3}{{2\sqrt 2 }}.\]

Kết hợp với \(|m| > 1\) suy ra:

                         \[ - \frac{3}{{2\sqrt 2 }} \le m \le - 1\quad {\rm{ho?c}}\quad 1 \le m \le \frac{3}{{2\sqrt 2 }}.\]

Các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn là:

                                                                         \[m = - 1,\;0,\;1.\]

Tổng các giá trị nguyên đó là:

                                                                        \[ - 1 + 0 + 1 = 0.\]

Chọn A.