Tổng các giá trị của tham số \[m\]sao cho đường thẳng \(d:y = x + m\) cắt parabol

18/22

Tổng các giá trị của tham số \[m\]sao cho đường thẳng \(d:y = x + m\) cắt parabol\((P):y = {x^2} - 5x + 4\) tại hai điểm phân biệt và diện tích hình phẳng giới hạn bởi \[d\] và \((P)\) bằng \(\frac{4}{3}\) bằng bao nhiêu?

Giải thích

Phương trình hoành độ giao điểm của \[d\] và \((P)\) là

\({x^2} - 5x + 4 = x + m \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 4 - m = 0,\left( 1 \right)\)

\[d\] và \((P)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = 9 - 4 + m = m + 5 > 0 \Leftrightarrow m > - 5\)

Theo Viét: \[{{\rm{x}}_1} + {x_2} = 6;{x_1}{x_2} = 4 - m\]

Ta có \[S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {m - {x^2} + 6x - 4} \right)} {\rm{d}}x = \left. {\left( {\left( {m - 4} \right)x + 3{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}\]

\[ = \left( {\left( {m - 4} \right) + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - \frac{1}{3}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right]} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) = \frac{4}{3}\sqrt {{{\left( {m + 5} \right)}^3}} = \frac{4}{3}\]\( \Leftrightarrow m = - 4\)

Vậy \(S = - 4\).