Tổng các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -x + 2 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm và điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số là:

                                         \[\frac{{{x^3} + m}}{{x - 1}} = - x + 2\quad (x \ne 1).\]

Nhân chéo, ta được:

       \[{x^3} + m = - {x^2} + 3x - 2 \Leftrightarrow - {x^3} - {x^2} + 3x - 2 = m.{\rm{ }}*\]

Đặt:

                                                            \[f(x) = - {x^3} - {x^2} + 3x - 2.\]

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt thì phương trình \((*)\)

phải có hai nghiệm phân biệt khác \(1\).

Xét đạo hàm:

                                                                 \[f'(x) = - 3{x^2} - 2x + 3.\]

Giải \(f'(x) = 0\):

\( - 3{x^2} - 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \frac{{ - 1 - \sqrt {10} }}{3},}\\{{x_2} = \frac{{ - 1 + \sqrt {10} }}{3}.}\end{array}} \right.\)

Từ bảng biến thiên, phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

                                   \[m = f({x_1}),\quad m = f({x_2}),\quad {\rm{ho?c }}m = f(1).\]

Ta tính được:

          \[f({x_1}) = \frac{{ - 83 - 20\sqrt {10} }}{{27}},\qquad f({x_2}) = \frac{{ - 83 + 20\sqrt {10} }}{{27}},\qquad f(1) = - 1.\]

Suy ra tổng các giá trị của \(m\) là:

\[\sum m = \frac{{ - 83 - 20\sqrt {10} }}{{27}} + \frac{{ - 83 + 20\sqrt {10} }}{{27}} - 1 = \frac{{ - 166}}{{27}} - 1 = \frac{{ - 193}}{{27}} \approx - 7,15.\]

Vậy tổng các giá trị của \(m\) bằng \( - 7,15\).