Tổng các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Đồ thị hàm phân thức có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu luôn có một tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 0\).

Lời giải

Ta có: nên đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 0\).

Để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2}}\) có đúng hai đường tiệm cận thì nó phải có đúng một tiệm cận đứng. Xét mẫu thức của hàm số: \({x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2\) là tam thức bậc hai, có tối đa hai nghiệm phân biệt.

Để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2}}\) có đúng một tiệm cận đứng thì:

Trường hợp 1: \({x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2 = 0\) có nghiệm kép.

\({\rm{\Delta '}} = 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} - {m^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\). Thử lại, thấy đúng.

Trường hợp 2: \({x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 1 (1 là nghiệm của tử).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta '}} > 0 \Leftrightarrow {{(m - 1)}^2} - {m^2} + 2 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{3}{2}}\\{{1^2} + 2\left( {m - 1} \right) + {m^2} - 2 = 0 \Rightarrow m = 1\left( n \right) \vee m = - 3\left( n \right)}\end{array}} \right.\). Thử lại, thấy đúng.

Vậy tổng các giá trị \(m\) thỏa đề bài là: \(\frac{3}{2} + 1 + \left( { - 3} \right) = - \frac{1}{2}\).