Ở phương án trả lương thứ nhất, số tiền lương mỗi năm người lao động nhận được lập thành cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 120\) triệu đồng, công sai \(d = 18\)triệu đồng.

Ở phương án trả lương thứ hai, số tiền lương mỗi quý người lao động nhận được lập thành cấp số cộng có số hạng đầu \({v_1} = 24\) triệu đồng, công sai \(d' = 1,8\)triệu đồng.

Tổng số tiền lương người lao động nhận được trong \(n\) năm ở phương án thứ nhất là tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)và bằng:

\({S_n} = \frac{{\left[ {2 \cdot 120 + \left( {n - 1} \right) \cdot 18} \right] \cdot n}}{2} = 9{n^2} + 111n\) (triệu đồng).

Do \(1\) năm có \(4\) quý nên tổng số tiền lương người lao động nhận được trong \(n\) năm ở phương án thứ hai là tổng \(4n\) số hạng đầu của cấp số cộng\(\left( {{v_n}} \right)\) và bằng:

\({S'_{4n}} = \frac{{\left[ {2 \cdot 24 + \left( {4n - 1} \right) \cdot 1,8} \right] \cdot 4n}}{2} = 14,4{n^2} + 92,4n\) (triệu đồng).

Xét bất phương trình: \(14,4{n^2} + 92,4n > 9{n^2} + 111n \Rightarrow n > \frac{{31}}{9} \approx 3,44\).

Vậy từ năm thứ \(4\) trở đi thì tổng số tiền lương nhận được trong các năm đi làm ở phương án thứ hai sẽ nhiều hơn ở phương án thứ nhất.

Đáp án:\(4\).

Tổng 10 số hạng đầu cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \[{u_1} = \frac{1}{2}\] và công bội \[q = 3\]