Tồn tại bao nhiêu số dương m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = (m + 1)x^3 − (m + 2)x^2 + 3m − 2 cắt và tạo với hai tia Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 9/4?

Phương pháp giải: Lấy \(y\) chia \(y'\) ta được dư là đường thẳng đi qua \(2\) điểm cực trị.

Giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 3\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x\)

Hàm số có \(2\) cực trị \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 1 \ne 0}\\{{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne - 1}\\{m \ne - 2}\end{array}} \right.\)

Lấy \(y\) chia \(y'\) ta được:

\(y = \left[ {3\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x} \right]\left( {\frac{1}{3}x - \frac{{m + 2}}{{9\left( {m + 1} \right)}}} \right) - \frac{2}{9}\frac{{{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2}}}{{\left( {m{\rm{ + }}1} \right)}}x + 3m - 2\)

Do đó đường thẳng qua \(2\) điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình

\(d:y = - \frac{2}{9}\frac{{{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2}}}{{\left( {m{\rm{ + }}1} \right)}}x + 3m - 2\)

\(d \cap Ox = A\left( {\frac{{9\left( {3m - 2} \right)\left( {m + 1} \right)}}{{2{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2}}};0} \right),d \cap Oy = B\left( {0;3m - 2} \right)\left( {m > \frac{2}{3}} \right)\).                                               

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {3m - 2} \right)}^2}\left( {m + 1} \right)}}{{{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2}}} = 1 \Leftrightarrow 9{m^3} - 4{m^2} - 12m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \frac{2}{9} + \frac{{4\sqrt 7 }}{9}}\\{m = \frac{2}{9} - \frac{{4\sqrt 7 }}{9}}\\{m = 0}\end{array}} \right.\).

Vậy tồn tại \(1\) số dương \(m\) thỏa bài toán.