Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [ - 30;30]

Phương pháp giải

Để đồ thị hàm số có ít nhất một tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì phương

Trình \({x^3} + (m - 4)x + 2m = 0\) có ít nhất 1 nghiệm dương.

Giải chi tiết

Để đồ thị hàm số có ít nhất một tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì phương trình \({x^3} + (m - 4)x + 2m = 0\) có ít nhất 1 nghiệm dương.

Ta có:

\({x^3} + (m - 4)x + 2m = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^3} - 4x + mx + 2m = 0\)

\( \Leftrightarrow x(x - 2)(x + 2) + m(x + 2) = 0\)

\( \Leftrightarrow (x + 2)({x^2} - 2x + m) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{{x^2} - 2x + m = 0\quad (*)}\end{array}} \right.\)

Để \((*)\) có ít nhất 1 nghiệm dương thì:

TH1: \((*)\)có 2 nghiệm trái dấu\( \Leftrightarrow m < 0\).

Mà \(m \in [ - 30;30],\;m \in \mathbb{Z}\)nên \(m \in \{ - 30, - 29, \ldots , - 1\} .\)

TH2: \((*)\) có 2 nghiệm phân biệt \(0 \le {x_1} < {x_2}\).

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\Delta ' = 1 - m > 0\\{x_1}{x_2} = m \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le m < 1,\end{array}\\{{x_1} + {x_2} = 2 > 0.}\end{array}} \right.\)

Mà \(m \in [ - 30;30],\;m \in \mathbb{Z}\) nên m=0

TH3 \((*)\) có nghiệm kép lớn hơn 0.

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\Delta ' = 1 - m > 0\\{x_1}{x_2} = m > 0 \Leftrightarrow 0 < m \le 1,\end{array}\\{{x_1}{x_2} > 0.}\end{array}} \right.\)

Mà\(m \in [ - 30;30],\;m \in \mathbb{Z}\)nên m=1.

Vậy \(m \in \{ - 30, - 29, \ldots ,1\} \)\( \Rightarrow \) có 32 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B