Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m [ - 30;30 sao cho đồ thị hàm số

46/235

Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in [ - 30;30]\) sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 5}}{{{x^3} + (m - 4)x + 2m}}\) có ít nhất một tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung?

61 .

32 .

16 .

13 .

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Để đồ thị hàm số có ít nhất một tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì phương trình \({x^3} + (m - 4)x + 2m = 0\) có ít nhất 1 nghiệm dương.

Lời giải

Để đồ thị hàm số có ít nhất một tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì phương trình \({x^3} + (m - 4)x + 2m = 0\) có ít nhất 1 nghiệm dương.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} + (m - 4)x + 2m = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 4x + mx + 2m = 0\\ \Leftrightarrow x(x - 2)(x + 2) + m(x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow (x + 2)\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{{x^2} - 2x + m = 0\,\,(*)}\end{array}} \right.\end{array}\)

Để (∗) có ít nhất 1 nghiệm dương thì:

TH1: (*) có 2 nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow m < 0\)

Mà \(m \in [ - 30;30];m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \{ - 30; - 29; \ldots ; - 1\} \).

TH2: (*) có 2 nghiệm phân biệt \(0 \le {x_1} < {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } = 1 - m > 0}\\{{x_1}{x_2} = m \ge 0}\\{{x_1} + {x_2} = 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 \le m < 1.} \right.\)

Mà \(m \in [ - 30;30];m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 0\).

TH3: (*) có nghiệm kép lớn hơn 0 .

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } = 1 - m = 0}\\{{x_1}{x_2} = m > 0}\\{{x_1}{x_2} > 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 < m \le 1} \right.\).

Mà \(m \in [ - 30;30];m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 1\).

Vậy \(m \in \{ - 30; - 29; \ldots ;1\} \Rightarrow \) có 32 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.