Tốc độ tăng dân số của một thành phố trong một số năm được ước lượng bởi công thức P'(t)

a) Dân số của thành phố vào năm thứ t là:

\(P\left( t \right) = \int {P'\left( t \right)dt} = \int {20.{{\left( {1,106} \right)}^t}dt} = 20.\frac{{{{\left( {1,106} \right)}^t}}}{{\ln 1,106}} + C\).

Vì P(0) = 1008 nên \(20.\frac{1}{{\ln 1,106}} + C = 1008 \Rightarrow C \approx 809\).

Do đó \(P\left( t \right) = 20.\frac{{{{\left( {1,106} \right)}^t}}}{{\ln 1,106}} + 809\).

Dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2020 là:

\(P\left( 5 \right) = 20.\frac{{{{\left( {1,106} \right)}^5}}}{{\ln 1,106}} + 809 \approx 1137\) nghìn người.

b) Tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm là:

\(\frac{1}{5}\int\limits_0^5 {P'\left( t \right)dt} = \frac{1}{5}\int\limits_0^5 {20.{{\left( {1,106} \right)}^t}dt} = \left. {4.\frac{{{{\left( {1,106} \right)}^t}}}{{\ln 1,106}}} \right|_0^5\)

\( = 4.\left( {\frac{{{{\left( {1,106} \right)}^5}}}{{\ln 1,106}} - \frac{1}{{\ln 1,106}}} \right)\)≈ 26 nghìn người/năm.