Tọa độ trực tâm của tam giác ABC

92/235

Tọa độ trực tâm của tam giác \(ABC\), với \(A\left( { - 3;0;0} \right),B\left( {0;4;0} \right),C\left( {0;0;1} \right)\) là

\(\left( {\frac{{ - 48}}{{169}};\frac{{ - 36}}{{169}};\frac{{144}}{{169}}} \right)\)

\(\left( {\frac{{ - 48}}{{169}};\frac{{36}}{{169}};\frac{{144}}{{169}}} \right)\).

\(\left( {\frac{{48}}{{169}};\frac{{ - 36}}{{169}};\frac{{ - 144}}{{169}}} \right)\)

\(\left( {3;4;1} \right)\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính khoảng cách

Lời giải

\(\left( {ABC} \right):\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{4} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 4x - 3y - 12z + 12 = 0\).

Mà \(OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OH} = k\left( {4; - 3; - 12} \right) = \left( {4k; - 3k; - 12k} \right)\).

Lại có \(OH = d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{12}}{{\sqrt {{4^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 12)}^2}} }} = \frac{{12}}{{13}}\).

Suy ra \(OH = 13\left| k \right| = \frac{{12}}{{13}} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = \frac{{12}}{{169}}}\\{k = \frac{{ - 12}}{{169}}}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{H\left( {\frac{{48}}{{169}};\frac{{ - 36}}{{169}};\frac{{ - 144}}{{169}}} \right) \notin \left( P \right)}\\{H\left( {\frac{{ - 48}}{{169}};\frac{{36}}{{169}};\frac{{144}}{{169}}} \right) \in \left( P \right)}\end{array}} \right.} \right.\).