Tọa độ điểm đối xứng với điểm A ( − 1 ; 0 ) qua đường thẳng Δ là:

76/120

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 76 đến 77

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng \(\Delta \,\,:\,\,x - 2y + 6 = 0\) và \(\Delta '\,\,:\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 - t}\\{y = t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Tọa độ điểm đối xứng với điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\) qua đường thẳng \(\Delta \) là:

\(\left( { - 2\,;\,2} \right)\).

\(\left( { - 3\,;\,4} \right)\).

\(\left( {3;\, - 4} \right)\).

\(\left( {0\,;\, - 2} \right)\).

Giải thích

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2u - 6\\y = u\end{array} \right.\,\,\left( {u \in \mathbb{R}} \right)\).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\Delta \), khi đó \(H\left( {2u - 6\,;u} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow u = \left( {2\,;\,1} \right)\)là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) và vuông góc với \(\overrightarrow {AH} = \left( {2u - 5\,;\,u} \right)\) nên \(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2u - 5} \right) + u = 0 \Leftrightarrow u = 2 \Rightarrow H\left( { - 2\,;\,2} \right)\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với A qua \(\Delta \), suy ra H là trung điểm của \(AA'\), do đó

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A}}\\{{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{A'}} = - 3}\\{{y_{A'}} = 4}\end{array}} \right.\). Vậy điểm cần tìm là \(A'\left( { - 3\,;\,4} \right)\). Chọn B.

Nhận xét: Để tìm tọa độ hình chiếu H của A lên \(\Delta \) ta có thể làm cách khác như sau: ta có đường thẳng AH nhận \(\overrightarrow u = \left( {2\,;\,1} \right)\) làm VTPT nên có phương trình là \(2x + y + 2 = 0\), do đó tọa độ H là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y + 6 = 0}\\{2x + y + 2 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow H\left( { - 2\,;\,2} \right)\).