Tọa độ các điểm C sao cho tam giác ABC có trọng tâm G nằm trên đường thẳng Δ và có diện tích bằng 5/2 là:

78/120

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 77 đến 78

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm \(A\left( {2\,;\, - 3} \right),\,B\left( {3\,;\, - 2} \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(3x - y - 8 = 0\).

Tọa độ các điểm C sao cho tam giác ABC có trọng tâm G nằm trên đường thẳng \(\Delta \) và có diện tích bằng \(\frac{5}{2}\) là:

\(C\left( { - 3\,;\, - 13} \right)\) và \(C\left( {2\,;\,2} \right)\).

\(C\left( { - 3\,;\,13} \right)\) và \(C\left( {2\,;\,2} \right)\).

\(C\left( { - 3\,;\, - 13} \right)\) và \(C\left( {2\,; - \,2} \right)\).

\(C\left( {3\,;\,5} \right)\) và \(C\left( { - 2\,;\, - 10} \right)\).

Giải thích

Gọi \(C\left( {a\,;\,b} \right)\). Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(G\left( {\frac{{5 + a}}{3};\,\frac{{b - 5}}{3}} \right)\).

Do \(G \in \Delta \) nên \(3 \cdot \frac{{5 + a}}{3} - \frac{{b - 5}}{3} - 8 = 0 \Leftrightarrow b = 3a - 4\) (1).

Ta có \(AB = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \); \(d\left( {C,\,AB} \right) = \frac{{\left| {a - b - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {a - b - 5} \right|}}{{\sqrt 2 }}\).

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}AB \cdot d\left( {C,\,AB} \right) = \frac{5}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot \sqrt 2 \cdot \frac{{\left| {a - b - 5} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{5}{2}\)\( \Leftrightarrow \left| {a - b - 5} \right| = 5\) (2).

Thay (1) vào (2), ta được \(\left| { - 2a - 1} \right| = 5\), suy ra \(a = - 3\) hoặc \(a = 2\).

Với \(a = - 3\) thì \(b = - 13\), ta có \(C\left( { - 3\,;\, - 13} \right)\).

Với \(a = 2\) thì \(b = 2\), ta có \(C\left( {2\,;\,2} \right)\).

Vậy \(C\left( { - 3\,;\, - 13} \right)\) và \(C\left( {2\,;\,2} \right)\). Chọn A.