Tính I = nguyên hàm cos^3 x / 1 + sin x d x với t = s i n x . Tính I theo t?

7/20

Tính \[I = \smallint \frac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}dx\] với \[t = sinx\]. Tính I theo t?

\[I = t - \frac{{{t^2}}}{2} + C\]

\[I = \frac{{{t^2}}}{2} - t + C\]

\[I = \frac{{{t^2}}}{2} - \frac{{{t^2}}}{3} + C\]

\[I = - \frac{{{t^2}}}{2} + \frac{{{t^2}}}{3} + C\]

Giải thích

\[I = \smallint \frac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}dx = \smallint \frac{{{{\cos }^2}x.\cos xdx}}{{1 + \sin x}} = \smallint \frac{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos xdx}}{{1 + \sin x}}\]

Đặt\[\sin x = t \Rightarrow \cos xdx = dtI = \smallint \frac{{\left( {1 - {t^2}} \right)dt}}{{1 + t}} = \smallint \left( {1 - t} \right)dt = t - \frac{1}{2}{t^2} + C\]

Đáp án cần chọn là: A