Tính tổng Sn = 1 + 2a + 3a^2 + 4a^3 + ... +

13/16

Tính tổng \[{S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + 4{a^3} + ... + \left( {n + 1} \right){a^n}\] (\[a \ne 1\;\]là số cho trước)

\[\frac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\]

\[\frac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\]

\[\frac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\]

\[\frac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\]

Giải thích

Nếu a=0 thì S=1.

Nếu\[a \ne 1\] thì ta có:

\[aSn = a + 2{a^2} + 3{a^3} + 4{a^4} + ... + (n + 1){a^{n + 1}}\]

\[ \Rightarrow Sn - aSn = 1 + a + {a^2} + {a^3} + ... + {a^n} - (n + 1){a^{n + 1}}\]

\[ \Rightarrow {S_n}(1 - a) = \frac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}} - (n + 1){a^{n + 1}}\]

\[ \Rightarrow {S_n} = \frac{1}{{1 - a}}\left[ {\frac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}} - (n + 1){a^{n + 1}}} \right]\]

\[ = \frac{1}{{1 - a}}\left[ {\frac{{{a^{n + 1}} - 1 - (n + 1){a^{n + 1}}(a - 1)}}{{a - 1}}} \right]\]

\[ = \frac{{(n + 1){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{(1 - a)}^2}}}\]

Đáp án cần chọn là: A