Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = (x^2 + (m - 1)x + 3 - 2m)/(x + m) đạt cực tiểu tại x = - 1

18/22

Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \frac{{{x^2} + (m - 1)x + 3 - 2m}}{{x + m}}\] đạt cực tiểu tại \[x = - 1.\]

Giải thích

Đáp án: 2.

Hàm số \[y = \frac{{{x^2} + (m - 1)x + 3 - 2m}}{{x + m}}\] đạt cực tiểu tại \[x = - 1\] \[ \Leftrightarrow y' = \frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} + m - 3}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\] có hai

nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\] khác \[ - m\] thoả mãn \[{x_1} = - 1,{x_2} < {x_1}\]

Suy ra \[y'\left( { - 1} \right) = 0 \Rightarrow 1 - 2m + {m^2} + m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 2\end{array} \right.\]

Thử lại: Khi \[m = - 1\] thì \[y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\] có hai nghiệm phân biệt \[{x_1} = - 1,{x_2} = 3 > - 1\] (loại).

Khi \[m = 2\] thì \[y' = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\] có hai nghiệm phân biệt \[{x_1} = - 1,{x_2} = - 3 < - 1\] (thoả mãn).

Vậy \[m = 2\].