Tính tổng S= a^2+b^2+c^2 (nhập đáp án vào ô trống).

75/235

Biết $\int_{0}^{2} \frac{{(e^{x} + 2)}^{2}}{e^{x}} d x = a \cdot e^{2} + \frac{b}{e^{2}} + c$ , trong đó $a, b, c \in ℤ$ . Tính tổng $S = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ (nhập đáp án vào ô trống).

____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta có: \[\int\limits_0^2 {\frac{{{{\left( {{{\rm{e}}^x} + 2} \right)}^2}}}{{{{\rm{e}}^x}}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\frac{{{{\rm{e}}^{2x}} + 4{{\rm{e}}^x} + {\rm{4}}}}{{{{\rm{e}}^x}}}{\rm{d}}x = \int\limits_0^2 {\left( {{{\rm{e}}^x} + 4 + 4{{\rm{e}}^{ - x}}} \right){\rm{d}}x = } } \left. {\left( {{{\rm{e}}^x} + 4x - 4{{\rm{e}}^{ - x}}} \right)} \right|_0^2\]

\[ = \left( {{{\rm{e}}^2} + 4 \cdot 2 - 4{{\rm{e}}^{ - 2}}} \right) - \left( {{{\rm{e}}^0} + 4 \cdot 0 - 4{{\rm{e}}^{ - 0}}} \right) = {{\rm{e}}^2} - \frac{4}{{{e^2}}} + 11\].

Từ đó suy ra \[a = 1\], \[b = - 4\], \[c = 11\].

Vậy tổng cần tìm là \[S = {1^2} + {\left( { - 4} \right)^2} + {11^2} = 138\].

Đáp án cần nhập là: \[138\].