Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{2\sin x + 3\cos x + 1}}{{\sin x - \cos x + 2}}\).

Đáp án: 3.

Ta có: \(y = \frac{{2\sin x + 3\cos x + 1}}{{\sin x - \cos x + 2}}\) ⇔ (y – 2)sinx – (y + 3)cosx = 1 – 2y.

Điều kiện để tồn tại cặp số (x; y) là (y – 2)² + (y + 3)² ≥ (1 – 2y)².

⇔ -2y² + 6y + 12 ≥ 0 ⇔ \(\frac{{3 - \sqrt {33} }}{2} \le y \le \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}\).

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\frac{{3 - \sqrt {33} }}{2} + \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2} = 3\).