Tính tổng các nghiệm của phương trình sau

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Ứng dụng hàm số trong giải phương trình logarit

Lời giải

Điều kiện xác định: \(\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{2{x^2} - x + 3}} > 0 \Rightarrow {x^2} - 5x + 6 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < 2}\\{x > 3}\end{array}} \right.\)

Ta có: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{2{x^2} - x + 3}} = - {x^2} - 4x + 3\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {2{x^2} - x + 3} \right) = \left( {{x^2} - 5x + 6} \right) - \left( {2{x^2} - x + 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) - \left( {{x^2} - 5x + 6} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {2{x^2} - x + 3} \right) - \left( {2{x^3} - x + 3} \right)\) (*)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t + t\), điều kiện \(t > 0\)

Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t{\rm{ln}}2}} + 1 > 0,\forall t > 0\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow f\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) = f\left( {2{x^2} - x + 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 2{x^2} - x + 3\)

\( \Leftrightarrow - {x^2} - 4x + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + \sqrt 7 }\\{x = - 2 - \sqrt 7 }\end{array}} \right.\)

Hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

Tổng của hai nghiệm là -4