Tính tổng các nghiệm của phương trình căn bậc hai {{x^2} + x + 11}  = căn bậc hai { - 2{x^2} - 13x + 16} \].

Ta có \[\sqrt {{x^2} + x + 11}  = \sqrt { - 2{x^2} - 13x + 16} \,\,\left( 1 \right)\].

Bình phương hai vế của phương trình \[\left( 1 \right)\] ta được \[{x^2} + x + 11 =  - 2{x^2} - 13x + 16\,\,\left( 2 \right)\].

Ta có \[\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3{x^2} + 14x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 5\\x = \frac{1}{3}\end{array} \right..\]

Thay lần lượt \[x =  - 5\] và \[x = \frac{1}{3}\] vào phương trình \[\left( 1 \right)\] ta thấy \[x =  - 5\] và \[x = \frac{1}{3}\] đều thỏa mãn.

Vậy phương trình \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm là \[x =  - 5\] và \[x = \frac{1}{3}\].

Nên tổng các nghiệm của phương trình \[\left( 1 \right)\] là \( - 5 + \frac{1}{3} =  - \frac{{14}}{3}\).