Tính tổng các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = x^3 - 3mx^2 + 3(3m + 4)x + 2025 đồng biến trên (2; + vô cùng).

Ta có đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {3m + 4} \right) = 3\left( {{x^2} - 2mx + 3m + 4} \right)\).

Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 3m + 4 \ge 0,\forall x > 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 4 \ge m\left( {2x - 3} \right),\forall x > 2\).

Vì \(x > 2 \Rightarrow 2x - 3 > 0\), ta cô lập được \(m\): \(m \le \frac{{{x^2} + 4}}{{2x - 3}},\forall x > 2\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4}}{{2x - 3}}\) trên \(\left( {2; + \infty } \right)\):

\(g'\left( x \right) = \frac{{2x\left( {2x - 3} \right) - 2\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 6x - 8}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\);

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 \in \left( {2; + \infty } \right)\\x = - 1 \notin \left( {2; + \infty } \right)\end{array} \right.\).

Vẽ bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\) trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) cho thấy hàm số giảm từ \(g\left( 2 \right) = 8\) xuống cực tiểu tại \(g\left( 4 \right) = \frac{{16 + 4}}{{8 - 3}} = 4\), sau đó tăng lên \( + \infty \).

Do đó, để \(m \le g\left( x \right)\) với mọi \(x > 2\) thì \(m \le \mathop {{\rm{min}}}\limits_{_{\left( {2; + \infty } \right)}} g\left( x \right) \Leftrightarrow m \le 4\).

Yêu cầu bài toán tìm các giá trị nguyên dương của \(m\), nên \(m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).

Tổng các giá trị này là: \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\).

Đáp số: 10.