Tính tổng các giá trị của tham số m để phương trình  có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân.

Đáp án đúng là "-6"

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của cấp số nhân: \({x_1}{x_3} = x_2^2\).

Lời giải

Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số nhân.

Ta có

\({x^3} - 7{x^2} + 2\left( {{m^2} + 6m} \right)x - 8 = \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right),\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow {x_1}{x_2}{x_3} = 8\)

Theo tính chất của cấp số nhân \({x_1}{x_3} = x_2^2\).

Suy ra \(x_2^3 = 8 \Rightarrow {x_2} = 2\).

Thay nghiệm \(x = {x_2} = 2\) vào phương trình đã cho, ta có

\(8 - 28 + 2\left( {{m^2} + 6m} \right).2 - 8 = 0 \Leftrightarrow 4{m^2} + 24m - 28 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m =  - 7}\end{array}} \right.\)

Thử lại với các giá trị \(m\) tìm được

Với \(m = 1\), ta có phương trình: \({x^3} - 7{x^2} + 14x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{x = 2{\rm{\;}}\left( {{\rm{TM}}} \right)}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).

Với \(m =  - 7\), ta có phương trình \({x^3} - 7{x^2} + 14x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{x = 2{\rm{\;}}\left( {{\rm{TM}}} \right)}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).

Suy ra \(m = 1;m =  - 7\) là các giá trị cần tìm.

Tổng các giá trị của \(m\) là -6.